JavaScript数据结构——图的实现

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  在计算机科学中,图是有五种网络形状的抽象模型,它是一组由边连接的顶点组成。另另2个图G = (V, E)由以下元素组成:

  • V:一组顶点
  • E:一组边,连接V中的顶点

  下图表示了另另2个图的形状:

  在介绍要怎样用JavaScript实现图想要,当我们先介绍因此 和图相关的术语。

  如上图所示,由第一根边连接在同時 的顶点称为相邻顶点,A和B是相邻顶点,A和D是相邻顶点,A和C是相邻顶点......A和E是不相邻顶点。另另2个顶点的是其相邻顶点的数量,A和其它另另2个顶点相连,统统A的度为3,E和其它另另2个顶点相连,统统E的度为2......路径是一组相邻顶点的连续序列,如上图富富含路径ABEI、路径ACDG、路径ABE、路径ACDH等。简单路径要求路径中不富富含重复的顶点,不可能 将的最后另另2个顶点上加,它也是另另2个简单路径。累似 路径ADCA是另另2个环,它都另另2个多简单路径,不可能 将路径中的最后另另2个顶点A上加,如此 它因此 另另2个简单路径。不可能 图中不处在环,则称该图是无环的。不可能 图中任何另另2个顶点间都处在路径,则该图是连通的,如上图因此 另另2个连通图。不可能 图的边如此 方向,则该图是无向图,上图所示为无向图,反之则称为有向图,下图所示为有向图:

  在有向图中,不可能 另另2个顶点间在双向上都处在路径,则称什儿 个多顶点是强连通的,如上图中C和D是强连通的,而A和B是非强连通的。不可能 有向图中的任何另另2个顶点间在双向上都处在路径,则该有向图是强连通的,非强连通的图也称为稀疏图

  此外,图还可不可否 是加权的。前面当我们看过的图全是未加权的,下图为另另2个加权的图:

  还可不可否 想象一下,前面当我们介绍的树和链表也属于图的有五种特殊形式。图在计算机科学中的应用十分广泛,累似 当我们还可不可否 搜索图中的另另2个特定顶点或第一根特定的边,不可能 寻找另另2个顶点间的路径以及最短路径,检测图中否有 处在环等等。

  处在多种不同的妙招来实现图的数据形状,下面介绍几种常用的妙招。

邻接矩阵

  在邻接矩阵中,当我们用另另2个二维数组来表示图中顶点之间的连接,不可能 另另2个顶点之间处在连接,则什儿 个多顶点对应的二维数组下标的元素的值为1,因此 为0。下图是用邻接矩阵妙招表示的图:

  不可能 是加权的图,当我们还可不可否 将邻接矩阵中二维数组里的值1改成对应的加权数。邻接矩阵妙招处在另另2个缺点,不可能 图是非强连通的,则二维数组中会有统统的0,这表示当我们使用了统统的存储空间来表示根本不处在的边。那我 缺点因此 当图的顶点处在改变时,对于二维数组的修改会变得不太灵活。

邻接表

  图的另外有五种实现妙招是邻接表,它是对邻接矩阵的有五种改进。邻接表由图中每个顶点的相邻顶点列表所组成。如下图所示,当我们还可不可否 用数组、链表、字典或散列表来表示邻接表。

关联矩阵

  当我们还可不可否 用关联矩阵来表示图。在关联矩阵中,矩阵的行表示顶点,列表示边。关联矩阵通常用于边的数量比顶点多的情况下,以节省存储空间。如下图所示为关联矩阵妙招表示的图:

  下面当我们重点看下要怎样用邻接表的妙招表示图。当我们的Graph类的骨架如下,它用邻接表妙招来实现无向图:

class Graph {
    constructor () {
        this.vertices = []; // 用来存放图中的顶点
        this.adjList = new Dictionary(); // 用来存放图中的边
    }

    // 向图中上加另另2个新顶点
    addVertex (v) {}

    // 向图中上加a和b另另2个顶点之间的边
    addEdge (a, b) {}
}

  在Graph类中,当我们用数组vertices来保存图中的所有顶点,用字典(请参考《JavaScript数据形状——字典和散列表的实现》一文中的Dictionary类)adjList来保存图中每另另2个顶点到相邻顶点的关系列表,在字典中,顶点被作为键值。请参考前面当我们给出的邻接表的示意图。因此 在Graph类中,当我们提供另另2个妙招,妙招addVertex()用来向图中上加另另2个新顶点,妙招addEdge()用来向图中上加给定的顶点a和顶点b之间的边。让当我们来看下什儿 个多妙招的实现。

addVertex (v) {
    if (!this.vertices.includes(v)) {
        this.vertices.push(v);
        this.adjList.set(v, []);
    }
}

  要上加另另2个新顶点,首比较慢判断该顶点在图中否有 不可能 处在了,不可能 不可能 处在则只有上加。不可能 不处在,就在vertices数组中上加另另2个新元素,因此 在字典adjList中上加另另2个以该顶点作为key的新元素,值为空数组。

addEdge (a, b) {
    // 不可能

图中如此

顶点a,先上加顶点a
    if (!this.adjList.has(a)) {
        this.addVertex(a);
    }
    // 不可能

图中如此

顶点b,先上加顶点b
    if (!this.adjList.has(b)) {
        this.addVertex(b);
    }

    this.adjList.get(a).push(b); // 在顶点a中上加指向顶点b的边
    this.adjList.get(b).push(a); // 在顶点b中上加指向顶点a的边
}

  addEdge()妙招也很简单,首比较慢确保给定的另另2个顶点a和b在图中还可不可否 处在,不可能 不处在,则调用addVertex()妙招进行上加,因此 分别在字典中找到键值为顶点a和键值为顶点b的元素,在对应的值中上加另另2个新元素。

  下面是Graph类的完整代码,其中的toString()妙招是为了当我们测试用的,它的处在全是还可不可否 的。

  对于本文一刚开始给出的图,当我们上加下面的测试用例:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'B');
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('C', 'D');
graph.addEdge('C', 'G');
graph.addEdge('D', 'G');
graph.addEdge('D', 'H');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('B', 'F');
graph.addEdge('E', 'I');

console.log(graph.toString());

  下面是测试结果:

A -> B C D 
B -> A E F 
C -> A D G 
D -> A C G H 
E -> B I 
F -> B 
G -> C D 
H -> D 
I -> E 

  还可不可否 看过,与示意图是相符合的。

  和树累似 ,当我们时会我需要 对图进行遍历,以访问图中的所有顶点。图的遍历妙招分为有五种:广度优先(Breadth-First Search,BFS)和强度优先(Depth-First Search,DFS)。对图的遍历还可不可否 用来寻找特定的顶点或另另2个顶点之间的最短路径,以及检查图否有 连通、图中否有 富含环等。

  在接下来要实现的算法中,当我们按照如下的约定对图中的顶点进行遍历,每个顶点最多访问两次:

  • 白色:表示该顶点未被访问。
  • 灰色:表示该顶点被访问过,但未被探索。
  • 黑色:表示该顶点被访问因此 被探索过。

广度优先

  广度优先算法会从指定的第另另2个顶点刚开始遍历图,先访问有五种顶点的所有相邻顶点,因此 再访问那先 相邻顶点的相邻顶点,以此类推。最终,广度优先算法会先广后深地访问图中的所有顶点。下面是广度优先遍历的示意图:

  不可能 当我们采用邻接表的妙招来存储图的数据,对于图的每个顶点,都另另2个多字典与之对应,字典的键值为顶点的值,字典的内容为与该顶点相邻的顶点列表。基于有五种数据形状,当我们还可不可否 考虑将所有顶点的邻接顶点存入队列,因此 依次解决队列中的顶点。下面是具体的遍历步骤:

  1. 将刚开始顶点存入队列。
  2. 遍历刚开始顶点的所有邻接顶点,不可能 那先 邻接顶点如此 被访问过(颜色为白色),则将它们标记为被访问(颜色为灰色),因此 加入队列。
  3. 将刚开始顶点标记为被解决(颜色为黑色)。
  4. 循环解决队列中的顶点,直到队列为空。

  下面是该算法的具体实现:

let Colors = {
    WHITE: 0,
    GREY: 1,
    BLACK: 2
};

let initializeColor = vertices => {
    let color = {};
    vertices.forEach(v => color[v] = Colors.WHITE);
    return color;
};

let breadthFirstSearch = (graph, startVertex, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();

    queue.enqueue(startVertex);

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
        if (callback) callback(u);
    }
};

  breadthFirstSearch()妙招接收另另2个graph对象,图的数据通过该对象传入。参数startVertex指定了遍历的起始顶点。回调函数callback规定了要要怎样解决被遍历到的顶点。

  首先通过initializeColor()函数将所有的顶点标记为未被访问过(颜色为白色),那先 颜色保处在以顶点值为key的color对象中。图的vertices和adjList属性还可不可否 通过getVertices()和getAdjList()妙招得到,因此 构造另另2个队列queue(有关队列类Queue请参考《JavaScript数据形状——队列的实现与应用》),按照里面描述的步骤对图的顶点进行遍历。

  在前面当我们给出的测试用例的基础上,上加下面的代码,来看看breadthFirstSearch()妙招的执行结果:

breadthFirstSearch(graph, 'A', value => console.log(`visited vertex: ${value}`));

  参数graph为前面测试用例中Graph类的实例,也因此 当我们用来保存图的数据的对象,'A'被作为遍历的起始顶点,在回调函数中,打印一行文本,用来展示顶点被遍历的顺序。下面是测试结果:

visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: E
visited vertex: F
visited vertex: G
visited vertex: H
visited vertex: I

  尝试将'I'作为起始顶点,看看执行结果:

visited vertex: I
visited vertex: E
visited vertex: B
visited vertex: A
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了方便理解,当我们将顶点I倒入最里面。从顶点I刚开始,首先遍历到的是它的相邻顶点E,因此 是E的相邻顶点B,其次是B的相邻顶点A和F,A的相邻顶点C和D,C的相邻顶点G(D不可能 被遍历过了),最后是D的相邻顶点H(C和G不可能 被遍历过了)。

寻找最短路径

  前面展示了广度优先算法的工作原理,当我们还可不可否 使用它做更多的事情,累似 在另另2个图G中,从顶点v刚开始到其它所有顶点间的最短距离。当我们考虑一下要怎样用BFS来实现寻找最短路径。

  假设另另2个相邻顶点间的距离为1,从顶点v刚开始,在其路径上每经过另另2个顶点,距离加1。下面是对breadthFirstSearch()妙招的改进,用来返回从起始顶点刚开始到其它所有顶点间的距离,以及所有顶点的前置顶点。

let BFS = (graph, startVertex) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();
    let distances = {};
    let predecessors = {};

    queue.enqueue(startVertex);

    // 初始化所有顶点的距离为0,前置节点为null
    vertices.forEach(v => {
        distances[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                distances[n] = distances[u] + 1;
                predecessors[n] = u;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
    }

    return {distances, predecessors};
};

  在BFS()妙招中,当我们定义了另另2个对象distances和predecessors,用来保存从起始顶点出发到其它所有顶点的距离以及那先 顶点的前置顶点。BFS()妙招不还可不可否 callback回调函数,不可能 它会自行输出最终结果。与breadthFirstSearch()妙招的逻辑累似 ,只不过在刚开始的想要将所有顶点的距离初始化为0,前置顶点初始化为null,因此 在遍历的过程中,重新设置顶点的distances值和predecessors值。当我们仍然将顶点A作为起始顶点,来看看测试结果:

console.log(BFS(graph, 'A'));
{
  distances: { A: 0, B: 1, C: 1, D: 1, E: 2, F: 2, G: 2, H: 2, I: 3 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'A',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'C',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  如你所见,distances为从顶点A刚开始到其它所有顶点的最短距离(相邻顶点间的距离为1),predecessors记录了所有顶点的前置顶点。以BFS()妙招的返回结果为基础,通过下面的代码,当我们还可不可否 得出从顶点A刚开始到其它所有顶点的最短路径:

let shortestPathA = BFS(graph, 'A');
let startVertex = 'A';
myVertices.forEach(v => {
    let path = new Stack();
    for (let v2 = v; v2 !== startVertex; v2 = shortestPathA.predecessors[v2]) {
        path.push(v2);
    }

    path.push(startVertex);
    let s = path.pop();
    while (!path.isEmpty()) {
        s += ` - ${path.pop()}`;
    }

    console.log(s);
});

  其中的Stack类还可不可否 参考《JavaScript数据形状——栈的实现与应用》。下面是对应的执行结果:

A
A - B
A - C
A - D
A - B - E
A - B - F
A - C - G
A - D - H
A - B - E - I

   以上当我们说的全是未加权的图,对于加权的图,广度优先算法并全是最要花费 的。下面给出了另外几种最短路径算法:

Dijkstra - 寻找从指定顶点到其它所有顶点的最短路径的贪心算法。

Floyd-Warshall - 计算图中所有最短路径的动态规划算法。

Kruskal - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

Prime - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

强度优先

  强度优先算法从图的第另另2个顶点刚开始,沿着有五种顶点的第一根路径递归查找到最后另另2个顶点,因此 返回并探查路径上的其它路径,直到所有路径都被访问到。最终,强度优先算法会先深后广地访问图中的所有顶点。下面是强度优先遍历的示意图:

  当我们仍然采用和广度优先算法一样的思路,一刚开始将所有的顶点初始化为白色,因此 沿着路径递归探查其余顶点,当顶点被访问过,将颜色改为灰色,不可能 顶点被探索过(解决过),则将颜色改为黑色。下面是强度优先算法的具体实现:

let depthFirstSearchVisit = (u, color, adjList, callback) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    if (callback) callback(u);

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(n, color, adjList, callback);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
};

let depthFirstSearch = (graph, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(v, color, adjList, callback);
        }
    });
};

  具体执行步骤为:

  1. 将图中所有顶点的颜色初始化为白色。
  2. 遍历顶点,此时A作为第另另2个顶点,它的颜色为白色,于是调用函数depthFirstSearchVisit(),并将顶点A、color、graph.adjList作为参数传入。
  3. 在depthFirstSearchVisit()函数组织组织结构,不可能 顶点A被访问过了,统统将颜色设置为灰色,并执行callback回调函数(不可能 处在),因此 遍历A的邻接顶点B、C、D。
  4. B未被访问过,颜色为白色,统统将B作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。B设置为灰色,callback('B')。遍历B的邻接节点E和F。
  5. E未被访问过,颜色为白色,统统将E作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。E设置为灰色,callback('E')。遍历E的邻接节点I。
  6. I未被访问过,颜色为白色,统统将I作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。I设置为灰色,callback('I')。I如此 邻接节点,因此 将I设置为黑色。递归返回到5。
  7. E如此 其它邻接节点,将E设置为黑色。递归返回到4。
  8. 遍历B的那我 邻接节点F,F未被访问过,颜色为白色,统统将F作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。F设置为灰色,callback('F')。F如此 邻接节点,因此 将F设置为黑色。递归返回到4。
  9. B的所有邻接节点都被访问过了,将B设置为黑色。递归返回到3。
  10. 访问A的第兩个邻接节点C,C未被访问过,颜色为白色,统统将C作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。C设置为灰色,callback('C')。遍历C的邻接节点D、G。
  11. D未被访问过,颜色为白色,统统将D作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。D设置为灰色,callback('D')。遍历D的邻接节点G和H。
  12. G未被访问过,颜色为白色,统统将G作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。G设置为灰色,callback('G')。G如此 邻接节点,因此 将G设置为黑色。递归返回到11。
  13. 遍历D的那我 邻接节点H,H未被访问过,颜色为白色,统统将H作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。H设置为灰色,callback('H')。H如此 邻接节点,因此 将H设置为黑色。递归返回到11。
  14. D的所有邻接节点都被访问过了,将D设置为黑色。递归返回到10。
  15. 遍历C的那我 邻接节点G,不可能 G不可能 被访问过,对C的邻接节点的遍历刚开始。将C设置为黑色。递归返回到3。
  16. 访问A的最后另另2个邻接节点D,不可能 D不可能 被访问过,对A的邻接节点的遍历刚开始。将A设置为黑色。
  17. 因此 对剩余的节点进行遍历。不可能 剩余的节点都被设置为黑色了,统统多多进程 刚开始。

  对应的测试用例及执行结果如下:

depthFirstSearch(graph, value => console.log(`visited vertex: ${value}`));
visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: E
visited vertex: I
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了便于理解,当我们将整个遍历过程用下面的示意图来展示:

  前面说过,强度优先算法的数据形状是栈,然而这里当我们并如此 使用栈来存储任何数据,因此 使用了函数的递归调用,觉得递归也是栈的有五种表现形式。另外因此 ,不可能 图是连通的(即图中任何另另2个顶点之间都处在路径),当我们还可不可否 对上述代码中的depthFirstSearch()妙招进行改进,只还可不可否 对图的起始顶点刚开始遍历一次就还可不可否 了,而不还可不可否 遍历图的所有顶点,不可能 从起始顶点刚开始的递归就还可不可否 覆盖图的所有顶点。

拓扑排序

  前面展示了强度优先算法的工作原理,当我们还可不可否 使用它做更多的事情,累似 拓扑排序(toplogical sorting,也叫做topsort不可能 toposort)。与广度优先算法累似 ,当我们也对里面的depthFirstSeach()妙招进行改进,以说明要怎样使用强度优先算法来实现拓扑排序:

let DFSVisit = (u, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    discovery[u] = ++time.count;

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            predecessors[n] = u;
            DFSVisit(n, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
    finished[u] = ++time.count;
};

let DFS = graph => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let discovery = {};
    let finished = {};
    let predecessors = {};
    let time = { count: 0 };

    vertices.forEach(v => {
        finished[v] = 0;
        discovery[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            DFSVisit(v, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    return {discovery, finished, predecessors};
};

  DFS()妙招会输出图中每个顶点的发现时间和探索时间,当我们假定时间从0刚开始,每经过一步时间值加1。在DFS()妙招中,当我们用变量discovery,finished,predecessors来保存每个顶点的发现时间、探索时间和前置顶点(有五种和广度优先算法中寻找最短路径中的一致,但最终执行结果会有区别),最终的输出结果中也会反映什儿 个多值。这里还可不可否 注意的是,变量time难能可贵被定义为对象而都另另2个多普通的数字,是不可能 当我们还可不可否 在函数间传递有五种变量,不可能 因此 作为值传递,函数组织组织结构对变量的修改不不影响到它的原始值,因此 当我们因此 还可不可否 在函数递归调用的过程中不断记录time的变化过程,统统采用值传递的妙招显然不行。因此 当我们将time定义为另另2个对象,对象被作为引用传递给函数,那我 在函数组织组织结构对它的修改就会反映到原始值上。

  来看看对DFS()妙招的测试结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 2, C: 10, D: 11, E: 3, F: 7, G: 12, H: 14, I: 4 },
  finished: { A: 18, B: 9, C: 17, D: 16, E: 6, F: 8, G: 13, H: 15, I: 5 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'C',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'D',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  当我们将结果反映到示意图上,那我 更加直观:

  示意图上每另另2个顶点左边的数字是顶点的发现时间,右边的数字是顶点的探索时间,完整完成时间是18,还可不可否 结合前面的强度优先算法遍历过程示意图来看,它们是对应的。同時 当我们也看过,强度优先算法的predecessors和广度优先算法的predecessors会有所不同。

  拓扑排序只有应用于有向无环图(DAG)。基于里面DFS()妙招的返回结果,当我们还可不可否 对顶点的完成时间(探索时间finished)进行排序,以得到当我们还可不可否 的拓扑排序结果。

  不可能 要实现有向图,只还可不可否 对前面当我们实现的Graph类的addEdge()妙招略加修改,将最后一行删掉。当然,当我们时会我需要 在Graph类的构造函数中指明是有向图还是无向图,下面是改进后的Graph类:

  因此 当我们对有向图应用DFS算法:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('B', 'D');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('C', 'F');
graph.addEdge('F', 'E');
console.log(DFS(graph));

  下面是返回结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 11, C: 2, D: 8, E: 4, F: 3 },
  finished: { A: 10, B: 12, C: 7, D: 9, E: 5, F: 6 },
  predecessors: { A: null, B: null, C: 'A', D: 'A', E: 'F', F: 'C' }
}

  示意图如下:

  对顶点的完成时间进行倒序排序,得到的拓扑排序结果为:B - A - D - C - F - E。

  下一章当我们将介绍要怎样用JavaScript来实现各种常见的排序算法。